Вестник Московского университета, серия математика и механика №4 Следовательно, в этом случае можно говорить о том, что система (1) имеет решение вида: y(t) = C e^{λt} + ∫_0^t K(t-τ)f(τ)dτ где λ — корень характеристического уравнения системы, C — произвольная постоянная, K(t) — функция, определяемая из уравнения: K'(t) + aK(t) = b e^{λt}, при начальном условии K(0) = 0. Решение этого уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных. Общее решение однородного уравнения имеет вид: K_h(t) = C_1 e^{-at}. Частное решение ищем в виде: K_p(t) = C_2 e^{λt}. Подставляя K_p(t) в неоднородное уравнение, получаем: C_2 λ e^{λt} - a C_2 e^{λt} = b e^{λt}, откуда следует: C_2 (λ - a) = b, значит: C_2 = b / (λ - a). Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид: K(t) = C_1 e^{-at} + [b / (λ - a)] e^{λt}. Применяя начальные условия K(0) = 0, найдем значение постоянной C_1: C_1 + b / (λ - a) = 0, откуда: C_1 = -b / (λ - a). Подставляя найденные значения постоянных в общее решение, получаем окончательный ответ: K(t) = [-b / (λ - a)] e^{-at} + [b / (λ - a)] e^{λt}. Итак, мы нашли функцию K(t), которая позволяет записать решение исходной системы дифференциальных уравнений в виде интеграла.